Condizioni di ottimalità Duali KKT

Condizioni duali §

Si ottengono esprimendo il Cono Tangente con il Cono linearizzato, come abbiamo visto questo non è sempre vero, quando è possibile questa condizione viene detta condizione di Abadie: $T_C(\overline{x})=L_C(\overline{x})$.

Si usa poi uno dei teoremi dell’alternativa in particolare una variante del Corollario.

Teorema §

Sia dato il problema di ottimizzazzione $MIN(C,f)$ dove l’insieme $C$ è definito da un sistema di disequazioni ed equazioni $g_i(x)\le 0$ e $h_j(x)=0$, e $f,g,h$ funzioni differenziabili. Supponiamo che valgano le condizioni di Abadie, allora una condizione necessaria affinché $\overline{x}\in C$ sia un minimo locale è data da:

$$\nabla f(\overline{x})+\nabla g_i(\overline{x}{)}^T\lambda +\nabla h_j(\overline{x}{)}^T\mu =0$$

con $\lambda \ge 0$ e $i\in I_0(\overline{x})$.

Dim §

L’insieme di disuguaglianze che definiscono il cono linearizzato e la Condizioni di Ottimalità Primali

$$\{\begin{array}{l}\nabla g_i^{T}d\le 0\\ \nabla h_j^{T}d=0\\ \nabla f^{T}d\ge 0\end{array}$$

nego il sistema passando alla complementare dell’ultima e moltiplico per meno uno:

$$\{\begin{array}{l}\nabla g_i^{T}d\le 0\\ \nabla h_j^{T}d=0\\ -\nabla f^{T}d>0\end{array}$$

Passo al sistema alternativo per ottengere

$$\nabla f+\nabla g_i^T\lambda +\nabla h_j^T\mu =0,\lambda \ge 0$$

con $i\in I_0(\overline{x})$. Ovviamente dobbiamo ricordarci che $\overline{x}\in C$ quindi devono valere anche:

$$g_i(\overline{x})\le 0,h_j(\overline{x})=0$$

$\square$

Sono una generalizzazio dei moltiplicatori di Lagrange.