Lebesgue's integral

Definition §

Vogliamo associare ad una funzione con codominio in ${\mathbb{R}}^n$ un numero reale, il suo integrale (definito).

Si procede costruttivamente, prima definendo l’integrale per una classe di funzioni, le Funzioni semplici, e poi generalizzando con un passaggio al limite per una classe più ampia di funzioni.

Si comincia ragionando solo su funzioni a valori non negativi $f:E\to [0,\infty ]$

$${\int }_{E}fd\mu :=sup\left\{{\int }_E\varphi d\mu \right|\varphi \text{ semplice, }0\le \varphi \le f\}$$

Approssimiamo sempre più $f$ dal basso con funzioni semplici (per questo ci siamo limitati a funzioni non negative).

In effetti esiste una definizione più esplicita, per ogni funzione misurabile esiste una successione monotona crescente di funzioni semplici che converge puntualmente q.o. alla funzione, quindi è proprio il sup cercato. successione monotona di funzioni semplici. Si può vedere come definizione alternativa.

Estendiamo banalmente a funzioni generali separando le parti positive e negative, e facendo la differenza:

$$\int fd\mu =\int f_{+}d\mu -\int f_{-}d\mu$$

Dove è chiaro cosa sono $f_{+}$ e $f_{-}$

Funzioni integrabili secondo Lebesgue §

Diciamo che $f$ è integrabile secondo Lebesgue su $E$ se entrambi gli integrali della parte positiva e negativa sono finiti.

Qui c’è una differenza con l’integrale di Riemann, funzioni oscillanti che integrale davano zero, magari qui otteniamo forme indeterminate come $\infty -\infty$.

Per essere precisi, $f$ è Lebesgue integrabile se e solo se anche $|f|$ lo è, infatti:

$$|f|=f_{+}+f_{-}$$

Properties §

Note

Absolute continuity Let $f\in L^1(E)$ . Then for all $ϵ>0$ there exists a $\delta >0$ such that

$$\left|{\int }_{E}fd\mu \right|<ϵ$$

whenever $\mu (E)<\delta$.

Note g be a simple function, then

Let

$$\left|{\int }_{E}gd\mu \right|\le {\int }_E|g|d\mu \le \max |g|\mu (E)$$

just take $\delta <\frac{ϵ}{\max |g|}$. By density and the triangle inequality the claim is true in $L^1(E)$. $\square$