Teorema unicità dell'enstenzione

Teorema unicità dell’enstenzione §

Sia $\mathcal{I}$ un $\pi$-sistema su $S$. Sia $\Sigma =\sigma (\mathcal{I})$ la sigma algebra generata dal sistema, e $\mu ,\nu$ due misure finite sullo spazio misurabile $(S,\sigma (\mathcal{I}))$ che concordano sul $\pi$-sistema e sulla misura di $S$ ($\mu (S)=\nu (S)<\infty$). Allora:

$$\mu =\nu \text{su }\Sigma$$

Dim Sia $\mathcal{D}:=\{F\in \Sigma :\mu (F)=\nu (F)\}$. Facciamo vedere che è un $d$-sistema su $S$. Siccome per ipotesi $\mathcal{I}\subseteq \mathcal{D}$, ed è un $\pi$ sistema, per i lemma di Dynkin:

$$\sigma (\mathcal{I})=d(\mathcal{I})\subseteq \mathcal{D}$$

• $S\in \mathcal{D}$ per ipotesi.
• Siano $A,B\in \mathcal{D}$ con $A\subseteq B$. Allora siccome sono misure finite:

$$\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)=\nu (B)-\nu (A)=\nu (B\setminus A)$$

quindi $(B\setminus A)\in \mathcal{D}$.

• Consideriamo una successione monotona crescente $F_n\to F$ in $\mathcal{D}$, allora:

$$\mu (F)=\mu ({\cup }_n{F}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (F_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\nu (F_n)=\nu (F)$$

per Limit of sets e Continuity of mesure. $\square$

Corollario Se ho due misure di probabilità che concordano su un $\pi$-sistema, allora concordano su tutta la sigma algebra generata dal sistema.

Il caso più frequente è il $\pi$ sistema che generea la sigma algebra di Borel:

$$\mathcal{B}=\sigma (\pi (\mathbb{R}))\pi (\mathbb{R}):=\{(-\infty ,x]|x\in \mathbb{R}\}$$

Quindi se due misure di probabilità concordadno sugli intervalli della forma $(-\infty ,x]$ sono equivalenti su tutta la sigma algebra di $Borel$ (su tutto $\mathbb{R}$ fanno $1$ per definizione, quindi concordano).