Einstein's relation

$$D=T{k}_B\mu$$

Il coefficiente di diffusione (Diffusione Fick’s Law) è legato alla mobilità $\mu$, ovvero il rapporto tra la forza agente e la velocità terminale e la temperatura.

Dim §

All’equilibrio la somma tra le densità di corrente di diffusione e di drift (dovuto ad una forza) è nulla:

$${\vec{J}}_{diff}+{\vec{J}}_{drift}=\vec{0}$$

La corrente di drift, come è solito essendo una densità di corrente $\vec{J}\simeq \rho \vec{v}$, ma sappiamo che la velocità dipende linearmente dalla forza esterna tramite la mobilità:

$${\vec{J}}_{drift}=\rho \mu \vec{F}$$

Per la diffusione sappiamo dalla Diffusione Fick’s Law che:

$${\vec{J}}_{diff}=-D\nabla \rho$$

quindi l’equazione è:

$$-D\nabla \rho +\mu \vec{F}\rho =0$$

Serve esplicitamente la forza $\vec{F}(x)$ per trovare $\rho$, tuttavia se la forza è conservativa $F=-\nabla U$, e sapendo dalla statistica maxwell-boltzmann che la densità dipende solo dal potenziale:

$$D\nabla \rho +\mu \nabla U\rho =0$$

$\rho (U)$ quindi:

$$\nabla \rho =\frac{\partial \rho }{\partial U}\nabla U$$

quindi l’equazione vettoriale

$$D\frac{\partial \rho }{\partial U}\nabla U+\mu \rho \nabla U=0$$

impone l’equazione scalare (eliminando le componenti del gradiente di $U$):

$$D\frac{\partial \rho }{\partial U}+\mu \rho =0$$

Sempre dalla statistica di MB sappiamo la forma di $\rho$:

$$\rho (x)=\frac{1}{Z_q}{e}^{-\beta U(x)}$$

(la normalizzazione $Z_q$ non è rilevante). Quindi calcolando la derivata e sostituendo:

$$D=\frac{\mu }{\beta }=k_{B}T\mu \square$$